dr hab. Javier de Lucas Araujo, prof. UW
​
Department of Mathematical Methods in Physics, University of Warsaw
METODY SUPERGEOMETRYCZNE I ICH ZASTOSOWANIA
28 lutego i 7 marca 2017
1 - WstÄ™p. ModuÅ‚y, kategorie, funktory, obiekty koÅ„cowe, zerowe i poczÄ…tkowe, kategoria funktorów, lemat Yoneda, morfizm punktów, snopy.
14 i 21 marca 2017
2. Superstruktury. SuperprzestrzeÅ„ liniowa supermorfizmy, suma prosta i iloczyn tensorowy superprzestrzeni, superalgebra, algebra Grassmanna, superróżniczkowanie, supermoduÅ‚, morfizm miÄ™dzy supermoduÅ‚ami, supermacierze, Berezinian, superÅ›lad.
28 marca, 4 i 11 kwietnia 2017
3. SuperrozmaitoÅ›ci. Lokalne wspóÅ‚rzÄ™dne, morfizm miÄ™dzy superrozmaitoÅ›ciami, superpola wektorowe, caÅ‚kowanie superpól, superrozmaitoÅ›ci styczna, twierdzenie Batchelora-GawÄ™dzkiego, Tensory i formy. Tensory na superrozmaitoÅ›ci, gÄ™stość Bereziniana, superformy różniczkowe.
11, 18 i 25 kwietnia 2017
4. Formalizm superlagranżowski i superhamiltonowski. Lagranżjan, superforma Poincare-Cartan, superrównania Eulera-Lagrange'a, funkcja Hamiltonowska, formy supersymplektyczne, super równania Hamiltona.
2 i 9 maja 2017
5. CaÅ‚kowanie na superrozmaitoÅ›ci. CaÅ‚kowanie nieprzemiennych zmiennych, caÅ‚kowanie Rothsteina i Voronova, caÅ‚kowanie superform różniczkowych.
16 i 23 maja 2017
6. Formalizm BRST. Redukcja symplektyczna, kohomologia BRST, kwantyzacja BRST, przykłady.
30 maja 2017
7. Całka po trajektoriach na superrozmaitościach. Całka po trajektoriach i fermiony, fermionowy ruch Browna, ruch Browna na superrozmaitości, rachunek stochatyczny, trajektorie Browna na superrozmaitości.
6 i 13 czerwca 2017
8. Superrozmaitości i teorie supersymetryczne. Superpola i formalizm na superprzestrzeni, supergrawitacja.
Skrypt wykładu
Literatura
Fiorenza D., An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, Comptes Rendus des Rencontres Mathematiques de Glanon, 2003.
Rogers A., Supermanifolds: Theory and Applications, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapur, 2007.
Schapira P., Algebra and Topology. Course at Paris VI University, 2007/2008. http://www.math.jussieu.fr/˜schapira/lectnotes schapira@math.jussieu.fr
Varadarajan V.S., Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant lecture notes, Vol. 11, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004
Lamers, J., Algebraic Aspects of the Berezinian, master thesis, University of Utrecht, 2012
Weinstein A., Bates S., Lectures on the geometry of quantization, Berkeley Mathematics Lecture Notes, Vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI; Center for Pure and Applied Mathematics, Berkeley, CA, 1997
Ocena
Prezentacja (ustna albo pisemna) jednego tematu (20 punktów) z przedmiotu i aktywność podczas zajÄ™c (2 punkty). Aby zaliczyć przedmiot trzeba zdobyć 10 punktów.
​
Panstwo dysponujÄ… dwa terminy:
​
12 czerwca (poniedziałek) Egzamin zerowy, sala 2.06, od 8:00 do 13:00
​
26 czerwca (poniedziałek) Egzamin ustny, sala 2.06, od 9:00 do 14:00.
​
Można przygotować prezentacjÄ™ (3 albo 4 stron) czy 45 minutowÄ… prezentacjÄ™ odnoÅ›nie nastÄ™pujÄ…cych tematów:
​
​
a) Teoria kategorii
​
​
​
b) Superstruktury geometryczne
​
​
​
c) Superrozmaitości
​
​
​
d) Formalizm geometryczny Lagranżowski i Hamiltonowski
​
​
​
e) Całkowania superform i gęstości
​
​
​
f) Redukcja symplektyczna i BRST
​