dr hab. Javier de Lucas Araujo, prof. UW

Program

​

 1 Grupy (definicja i przykłady), podgrupy, warstwy, homomorfizmy, twierdzenie Cayleya, automorfizmy, automorfizmy wewnętrzne.

 

 2 Podgrupy normalne, grupa ilorazowa i epimorfizm ilorazowy, twierdzenie o izomorfiźmie.

 

 3 Iloczyny półproste – konstrukcja oraz charakteryzacja wewnętrzna, przykłady.

 

 4 Działania grup – definicja i przykłady, podgrupy izotropii, działania wolne i tranzytywne, działanie na zbiorze warstw, ogólna postać działania tranzytywnego.

 

 5 Algebra grupowa i jej centrum.

 

 6 Reprezentacje – definicja i przykłady (w tym reprezentacja regularna), równoważność, związek z homomorfizmami z algebry grupowej.

 

 7 Operacje na reprezentacjach: sumy proste, iloczyny tensorowe, potęgi symetryczne i zewnętrzne, przejście do reprezentacji kontragredientnej, zespolenie sprzężonej i do podreprezentacji.

 

 8 Niezmiennicza podprzestrzeń dopełniając dla podprzestrzeni nieimienniczej dla reprezentacji grupy skończonej, reprezentacje nieprzywiedlne i rozkład skończenie wymiarowej reprezentacji grupy skończonej na sumę prostą reprezentacji nieprzywiedlnych.

 

 9 Reprezentacje unitarne i unitaryzowalne, unitaryzowalność dowolnej reprezentacji grupy skończonej.

 

 10 Operatory splatające, lemat Schura.

 

 11 Teoria Petera-Weyla: ortogonalność elementów macierzowych reprezentacji nieprzywiedlnych, charaktery, ortonormalność charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych.

 

 12 Liczba (klas) reprezentacji nieprzywiedlnych, współczynniki rozkładu reprezentacji na sumę prostą nieprzywiedlnych, kryterium nieprzywiedlności reprezentacji, kryterium równoważności reprezentacji, suma wymiarów reprezentacji nierównoważnych nieprzywiedlnych, rozkład reprezentacji regularnej, twierdzenie Petera-Weyla.

 

 13 Reprezentacje iloczynu prostego grup.

 

 14 Elementy algebraiczne nad  dowolnego pierścienia przemiennego, własności całkowitości charakterów, podzielność  przez wymiar dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej, podzielność  przez wymiar dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej.

 

 15 Zawieranie reprezentacji trywialnej w iloczynie tensorowym  dla dowolnej reprezentacji.

 

 16 Reprezentacje indukowane – definicja i twierdzenie Mackey'a, reprezentacje jednowymiarowe

​

 17 Algebry Liego – definicja, przykłady, podstawowe własności

 

 18 Grupy Liego – definicja i przykłady, transport wektorów i pól wektorowych, pola lewo niezmiennicze, opis pól lewo niezmienniczych na grupie  i ich krzywych całkowych, , algebra Liego grupy Liego, odwzorowanie wykładnicze, własności krzywych całkowych pól leweo niezmienniczych – podgrupy jednoparametrowe.

 

 19 exp jako lokalny dyfeomorfizm, gładkość ciągłych homomorfizmów, postać dowolnej ciągłej jednoparametrowej podgrupy, gładkość ciągłych homomorfizmów grup Liego.

  

​

Program może ulegać drobne zmianny podczas realizacji przedmiotu.

​

​